Question

【題目】已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，其內(nèi)接正方形的面積為4．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)M為橢圓C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）+=1（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率可以得到的關(guān)系，結(jié)合，可知的關(guān)系，

由對(duì)稱性可得，可求橢圓內(nèi)接正方形位于第一象限頂點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程中，求出的值。

（Ⅱ）設(shè)了直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到一個(gè)一元二次方程，求出k1k2的表達(dá)式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。

解：（Ⅰ）∵e==，

∴a=c，即a2=2b2，①，

由對(duì)稱性可得，橢圓內(nèi)接正方形位于第一象限頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），

∴4x02=4，x0=1，

∴+=1，②，

由①②解得a=，b=，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M（，0），依題意得直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x-3），

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），（x1，x2≠），聯(lián)立方程，消去y并整理可得

∴x1+x2=，x1x2=，

∴k1k2======1，

∴k1k2=1