Question

已知函數(shù)f（x）=x+

k

x

（k＞0），g（x）=x⁴+ax³+bx²+ax+1（a，b∈R）
（1）若|f（x）|的最小值為2，求k值；
（2）設(shè)函數(shù)y=g（x）有零點(diǎn)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，根據(jù)|f（x）|的最小值為2，建立方程關(guān)系即可求k值；
（2）根據(jù)函數(shù)y=g（x）有零點(diǎn)，將方程進(jìn)行還原，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用消元法即可求a²+b²的最小值．

解答： 解：（1）∵k＞0，∴|f（x）|=|x+

k

x

|=|x|+|

k

x

|≥2

|x|•| k x |

=2

|k|

=2

k

，
若|f（x）|的最小值為2，則2

k

=2，解得k=1；
（2）設(shè)函數(shù)y=g（x）有零點(diǎn)，則等價為x⁴+ax³+bx²+ax+1=0有實(shí)根，
當(dāng)x=0時，方程無解，
令t=x+

1

x

，則|t|≥2，同時t²-2=x²+

1

x2

，
方程兩邊同時除以x²，得x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+b=0，
即t²+at+b-2=0，此時方程的根滿足|t|≥2，
令m（t）=t²+at+b-2，
則滿足判別式△=a²-4（b-2）≥0，
若根在（-2，2），則滿足m（-2）=2-2a+b＞0，m（2）=2+2a+b＞0，
即-1-

b

2

＜a＜1+

b

2

，也可以表示為|a|＜|1+

b

2

|，
故m（t）=t²+at+b-2，有|t|≥2根的條件為

a2≥4(b-2) |a|≥|1+ b 2 |

，
即a²≥1+b+

b2

4

．
故a²+b²≥1+b+

5

4

b2=

5

4

(b+

2

5

)2+

4

5

≥

4

5

，
則當(dāng)b=-

2

5

，a=

4

5

時，a²+b²的最小值為

4

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，以及利用基本不等式求函數(shù)的最值，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，有一定的難度，