【題目】如圖,四棱錐中,,,,,

求異面直線ABPD所成角的余弦值;

證明:平面平面PBD;

求直線DC與平面PBD所成角的正弦值.

【答案】)詳見解析(

【解析】

,得是異面直線ABPD所成角或所成角的補(bǔ)角,利用余弦定理能求出異面直線ABPD所成角的余弦值;()由勾股定理得,再由,得平面,由此能證明平面平面PBD;

,得直線DC與平面PBD所成角即為AB與平面PBD所成角,過點(diǎn)A,交PD于點(diǎn)H,連結(jié)BH,推導(dǎo)出是直線AB與平面PBD所成角,由此能求出直線DC與平面PBD所成角的正弦值。

解:,

是異面直線ABPD所成角或所成角的補(bǔ)角,

,,平面,

的中點(diǎn),連結(jié),則為正方形,,,

中,,,中,,

異面直線ABPD所成角的余弦值為

)證明:中,

由勾股定理得,

,,平面PAD,

平面PBD,平面平面PBD

直線DC與平面PBD所成角即為AB與平面PBD所成角,

過點(diǎn)A,交PD于點(diǎn)H,連結(jié)BH,

由()知平面平面,平面平面,

平面平面

為斜線AB在平面PBD內(nèi)的射影,

是直線AB與平面PBD所成角,

中,,故中,,

直線DC與平面PBD所成角的正弦值為

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