Question

6．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）定義域顯然為{x|x≠0}；
（2）容易得出f（-x）=-f（x），從而判斷出該函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)單調(diào)性的定義，定義域內(nèi)設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式便得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，從而在x₁，x₂∈（-∞，-1），[-1，0），（0，1]，或（1，+∞）時，可以判斷f（x₁）與f（x₂）的關(guān)系，從而得出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）的定義域為{x|x≠0}；
（2）f（-x）=-x-$\frac{1}{x}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（3）設(shè)x₁，x₂∈{x|x≠0}，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴①x₁，x₂∈（-∞，-1），或x₁，x₂∈（1，+∞）時，x₁x₂＞1；
∴$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增；
②x₁，x₂∈[-1，0），或x₁，x₂∈（0，1]時，0＜x₁x₂＜1；
∴$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[-1，0），（0，1]上單調(diào)遞減．

點評 考查函數(shù)定義域、奇函數(shù)的定義，及函數(shù)奇偶性的判斷方法和過程：求定義域，求f（-x），函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般提取公因式x₁-x₂．