Question

幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開設(shè)3D打印店，生產(chǎn)并銷售某種3D產(chǎn)品．已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其它固定支出20000元．假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量t（x）（件）與銷售價(jià)格x（元/件）（x∈N^*）之間滿足如下關(guān)系：①當(dāng)34≤x≤60時(shí)，t（x）=-a（x+5）²+10050；②當(dāng)60≤x≤70時(shí)，t（x）=-100x+7600．設(shè)該店月利潤為M（元），月利潤=月銷售總額-月總成本．
（1）求M關(guān)于銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求該打印店月利潤M的最大值及此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用x=60時(shí)，t（60）=1600，求出a，可得M關(guān)于銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用分段函數(shù)，分別求最值，即可求該打印店月利潤M的最大值及此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格．

解答： 解：（1）當(dāng)x=60時(shí)，t（60）=1600，代入t（x）=-a（x+5）²+10050，
解得a=2．            …（2分）
∴M（x）=

-2x3+48x2+10680x-360000，34≤x＜60，x∈N* -100x2+1100x-278400，60≤x≤70，x∈N*

 …（4分）
（2）設(shè)g（u）=（-2u²-20u+10000）（u-34）-20000，34≤u＜60，u∈R，則g′（u）=-6（u²-16u-1780）．
令g′（u）=0，解得u₁=8-2

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（舍去），u₂=8+2

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∈（50，51]．…（7分）
當(dāng)34＜u＜50時(shí)，g′（u）＞0，g（u）單調(diào)遞增；
當(dāng)51＜u＜60時(shí)，g′（u）＜0，g（u）單調(diào)遞減．   …（10分）
∵x∈N^*，M（50）=44000，M（51）=44226，∴M（x）的最大值為44226．…（12分）
當(dāng)60≤x≤70時(shí)，M（x）=100（-x²+110x-2584）-20000單調(diào)遞減，
故此時(shí)M（x）的最大值為m（60）=21600．       …（14分）
綜上所述，當(dāng)x=51時(shí)，月利潤M（x）有最大值44226元．    …（15分）
答：該打印店店月利潤最大為44226元，此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格為51元/件．  …（16分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．