Question

若函數(shù)f（x）=

ex+x-a

存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（f（b））=b可得A（b，f（b）），A′（f（b），b）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上為突破即可得到結(jié)論．

解答： 解：若存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b，
則A（b，f（b）），A′（f（b），b）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
又f（x）=

ex+x-a

在[0，1]上遞增，
∴（x_A'-x_A）（y_A'-y_A）≥0，
即（f（b）-b）（b-f（b））≥0，
則（f（b）-b）²≤0，
即f（b）=b，即f（x）=x，在[0，1]上有解，
根據(jù) f（x）=

ex+x-a

=x，化簡整理得e^x=x²-x+a，
即a=e^x-x²+x，
設(shè)F（x）=e^x-x²+x，則F′（x）=e^x-2x+1≥0，x∈[0，1]，
即F（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∵F（0）=1，F(xiàn)（1）=e，
∴1≤a≤e
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，e]
故答案為：[1，e]

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．，綜合性較強(qiáng)，難度較大．