Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是數(shù)列{log₂a_n}的前n項和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求$（1-\frac{1}{T_2}）（1-\frac{1}{T_3}）…（1-\frac{1}{{{T_{2015}}}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），S_n+2+4S_n=5S_n+1，相減可得a_n+2+4a_n=5a_n+1，變形為：a_n+2-a_n+1=4（a_n+1-a_n），利用等比數(shù)列的通項公式與“累加求和”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；
（2）log₂a_n=2n-1．?dāng)?shù)列{log₂a_n}的前n項和T_n=n²．可得1-$\frac{1}{{T}_{n}}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{（n-1）（n+1）}{{n}^{2}}$．相乘即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），
∴S_n+2+4S_n=5S_n+1，
∴a_n+2+4a_n=5a_n+1，
變形為：a_n+2-a_n+1=4（a_n+1-a_n），
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，首項為6，公比為4，
∴a_n+1-a_n=6×4^n-1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=6×（4^n-2+4^n-3+…+4+1）+2
=$6×\frac{{4}^{n-1}-1}{4-1}$+2
=2^2n-1．
∴a_n=2^2n-1．
（2）log₂a_n=2n-1．
∴數(shù)列{log₂a_n}的前n項和T_n=1+3+…+（2n-1）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
∴1-$\frac{1}{{T}_{n}}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{（n-1）（n+1）}{{n}^{2}}$．
∴$（1-\frac{1}{T_2}）（1-\frac{1}{T_3}）…（1-\frac{1}{{{T_{2015}}}}）$=$\frac{（2-1）×（2+1）}{{2}^{2}}$×$\frac{（3-1）×（3+1）}{{3}^{2}}$×…×$\frac{（2014-1）×（2014+1）}{201{4}^{2}}$×$\frac{（2015-1）×（2015+1）}{201{5}^{2}}$
=$\frac{2016}{2×2015}$
=$\frac{1008}{2015}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、乘法公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．