Question

求函數(shù)f（x）=ln（1+x）-

1

4

x²在[0，2]上的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：要求函數(shù)在區(qū)間的最值，求出導函數(shù)令其為零得到駐點，然后分區(qū)間討論函數(shù)的增減性，求出函數(shù)的極大值，考慮閉區(qū)間兩個端點對應的函數(shù)值的大小，最后判斷出最大值和最小值即可．

解答： 解：因為f（x）=ln（1+x）-

1

4

x²，所以f（x）=

1

1+x

-

1

2

x，
令

1

1+x

-

1

2

x=0，化簡為x²+x-2=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=1．
當0≤x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)增加；
當1＜x≤2時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)減少．
所以f（1）=ln2-

1

4

為函數(shù)f（x）的極大值．
又因為f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），
所以f（0）=0為函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值，f（1）=ln2-

1

4

為函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值．
故答案為：ln2-

1

4

，0

點評：本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)計算，利用導數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的最大值、最小值以及綜合運算能力．