Question

14．已知圓C：x²+y²-2x-4y+3=0，直線l：y=kx，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），且滿足$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求k的值；
（2）當(dāng)$m∈（1，\frac{3}{2}）$時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)M（0，m）在圓C上，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，滿足$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，把圓心坐標(biāo)（1，2）代入直線l：y=kx，可得k的值；
（2）把直線l的方程代入圓的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，求得$\frac{2k（2k+1）}{{k}^{2}+1}$=$\frac{3}{m}$+m∈（$\frac{7}{2}$，4），解此不等式求得k的取值范圍．

解答 解：（1）將圓C轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）²+（y-2）²=2，
當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)M（0，1）在圓C上，
當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，滿足$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，即MA⊥MB．
∵圓心C的坐標(biāo)為（1，2），
∴k=2．
（2）由 $\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+3=0\end{array}\right.$，
消去y得：（k²+1）x²-（4k+2）x+3=0，①
設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{2（2k+1）}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{3}{{k}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，即（x₁，y₁-m）（x₂，y₂-m）=0，即x₁•x₂+（y₁-m）（y₂-m）=0，
∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴（1+k²）x₁•x₂-km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）•$\frac{3}{{k}^{2}+1}$-km•$\frac{2（2k+1）}{{k}^{2}+1}$+m²=0，
即 $\frac{2k（2k+1）}{{k}^{2}+1}$=$\frac{3}{m}$+m，
∵$m∈（1，\frac{3}{2}）$，
∴$\frac{3}{m}$+m∈（$\frac{7}{2}$，4），
∴$\frac{2k（2k+1）}{{k}^{2}+1}$∈（$\frac{7}{2}$，4），
解得：-2+$\sqrt{11}$＜k＜2或k＜-2-$\sqrt{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計(jì)算能力，屬于難題．