Question

14．設平面直角坐標系原點與極坐標極點重合，x軸正半軸與極軸重合，若已知曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，點F₁、F₂為其左、右焦點，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R）．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的參數(shù)方程；
（2）求曲線C上的點到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （1）直線l中消去參數(shù)，能求出直線l的普通方程，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，先求出曲線C的直角坐標方程，由此能求出曲線C的參數(shù)方程．
（2）設曲線C上的點P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），求出曲線C上的點P到直線l的距離，利用三角函數(shù)的性質(zhì)能求出曲線C上的點到直線l的最大距離．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），
∴直線l中消去參數(shù)，得直線l的普通方程為l：x-y-1=0，
∵曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴曲線C的直角坐標方程為3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）．（5分）
（2）設曲線C上的點P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），
則曲線C上的點P到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ-\sqrt{3}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|\sqrt{7}sin（θ+α）-1|$≤$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．
∴曲線C上的點到直線l的最大距離為$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．（10分）

點評 本題考查曲線的極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化，考查點到直線的距離的最大值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．