Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PA⊥面ABCD，且PA=AB，∠BAD=60°，E、F分別是PA、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）過(guò)BD作一平面交棱PC于點(diǎn)M，若二面角M-BD-C的大小為60°，求

CM

MP

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取PD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，證明四邊形EGFB是平行四邊形，可得BE∥FG，即可證明BE∥平面PDF；
（Ⅱ）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，證明∠MOC就是二面角M-BD-C的平面角，求出CM，即可求

CM

MP

的值．

解答： （Ⅰ）證明：取PD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，
因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以EG∥AD，且EG=

1

2

AD，
又F是菱形ABCD邊BC 的中點(diǎn)，
所以BF∥AD，且BF=

1

2

AD，
所以EG∥BC，且EG=BC，
所以四邊形EGFB是平行四邊形，
所以BE∥FG，…（5分）
而FG?平面，BE?平面PDF，…（6分）
所以BE∥平面PDF．…（7分）
（Ⅱ）解：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，
因?yàn)镻A⊥面ABCD，所以PA⊥BD，
又BD⊥AC，且PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，…（10分）
從而OM⊥BD，OCBD，
所以∠MOC就是二面角M-BD-C的平面角，∠MOC=60°，…（12分）
設(shè)AB=1，因?yàn)镻A=AB，∠BAD=60°，
所以PA=1，AC=

3

，PC=2，∠PCA=30°，
所以∠OMC=90°，
在Rt△OCM中，CM=

3

2

cos30°=

3

4

，…（14分）
所以

CM

MP

=

3 4

2- 3 4

=

3

5

   …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面平行的判定定理是關(guān)鍵．