【題目】已知函數f(x)=sin(ωx+φ)+1(0≤φ≤ )的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離為π,且在x= 時取得最大值2.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間;
(3)當f(α)= ,且 <α< ,求sinα的值.
【答案】
(1)解:∵若f(x)圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π,
∴三角函數的周期T=2π,即T= =2π,即ω=1,
則f(x)=sin(x+φ),
當x= 時,f(x)取得最大值,
即:sin( +φ)=1,
即: +φ= +2kπ,k∈Z,
即:φ= +2kπ,k∈Z,
∵|φ|≤ ,
∴φ= ,
則函數f(x)的解析式為:f(x)=sin(x+ )+1.
(2)解:令2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
解得:2kπ﹣ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z,
可得函數f(x)的單調遞增區(qū)間為:[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈Z.
(3)解:∵f(α)=sin(α+ )+1= ,可得:sin(α+ )= ,
∵ <α< ,可得: < <π,
∴cos(α+ )=﹣ =﹣ .
∴sinα=sin[(α+ )﹣ ]=sin(α+ )cos ﹣cos(α+ )sin = ﹣(﹣ )× = .
【解析】(1)根據三角函數的圖象和性質,分別求出周期,利用正弦函數的單調性即可得到結論.(2)令2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,即可解得函數f(x)的單調遞增區(qū)間.(3)由f(α)= ,可得sin(α+ )的值,可求范圍 < <π,利用同角三角函數基本關系式可求cos(α+ )的值,由于α=(α+ )﹣ ,利用兩角差的正弦函數公式即可計算得解.
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【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn , 且滿足an+2SnSn﹣1=0(n≥2),a1= .
(1)求證:{ }是等差數列;
(2)求an的表達式.
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【題目】已知: 、 、 是同一平面內的三個向量,其中 =(1,2)
(1)若| |=2 ,且 ∥ ,求 的坐標;
(2)若| |= ,且 +2 與2 ﹣ 垂直,求 與 的夾角θ.
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【題目】在三棱錐P﹣ABC中,D為AB的中點.
(1)與BC平行的平面PDE交AC于點E,判斷點E在AC上的位置并說明理由如下:
(2)若PA=PB,且△PCD為銳角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求證:AB⊥PC.
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【題目】如圖,當∠xOy=α,且α∈(0, )∪( ,π)時,定義平面坐標系xOy為α﹣仿射坐標系.在α﹣仿射坐標系中,任意一點P的斜坐標這樣定義: 、 分別為與x軸、y軸正向相同的單位向量,若 =x +y ,則記為 =(x,y).現給出以下說法:
①在α﹣仿射坐標系中,已知 =(1,2), =(3,t),若 ∥ ,則t=6;
②在α﹣仿射坐標系中,若 =( , ),若 =( ,﹣ ),則 =0;
③在60°﹣仿射坐標系中,若P(2,﹣1),則| |= ;
其中說法正確的有 . (填出所有說法正確的序號)
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【題目】如圖,A,B,C是橢圓M:上的三點,其中點A是橢圓的右頂點,BC過橢圓M的中心,且滿足AC⊥BC,BC=2AC。
(1)求橢圓的離心率;
(2)若y軸被△ABC的外接圓所截得弦長為9,求橢圓方程。
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【題目】在三棱錐P-ABC中,D為AB的中點。
(1)與BC平行的平面PDE交AC于點E,判斷點E在AC上的位置并說明理由如下:
(2)若PA=PB,且△PCD為銳角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求證:AB⊥PC。
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【題目】在某次測驗中,有6位同學的平均成績?yōu)?5分.用xn表示編號為n(n=1,2,…,6)的同學所得成績,且前5位同學同學的成績如表:
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x0 | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 |
(1)求第6位同學的成績x6及這6位同學成績的標準差s;
(2)若從前5位同學中,隨機地選2位同學,求恰有1位同學成績在區(qū)間[68,75)中的概率.
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【題目】探究函數的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 4.8 | 7.57 | … |
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
函數在區(qū)間(0,2)上遞減;
函數在區(qū)間 上遞增.
當 時, .
證明:函數在區(qū)間(0,2)遞減.
思考:函數時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結果,不需證明)
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