Question

11．直線l：3x-4y-5=0與圓C：（x-2）²+（y-1）²=25交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若M為圓C上的任意一點(diǎn)，求△ABM面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y-5=0}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=25}\end{array}\right.$，能求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求出圓心C（2，1）到直線l：3x-4y-5=0的距離和圓半徑，由此能求出|AB|，設(shè)P（2+5cosθ，1+5sinθ）是圓上任意一點(diǎn)，求出點(diǎn)P到直線l：3x-4y-5=0的距離h的最大值，由此能求出△ABM面積的最大值．

解答 解：（1）∵直線l：3x-4y-5=0與圓C：（x-2）²+（y-1）²=25交于A，B兩點(diǎn)，
∴解方程組$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y-5=0}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=25}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{59+8\sqrt{154}}{25}}\\{y=\frac{13+6\sqrt{154}}{25}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{59-8\sqrt{154}}{25}}\\{y=\frac{13-6\sqrt{154}}{25}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{59+8\sqrt{154}}{25}$，$\frac{13+6\sqrt{154}}{25}$），B（$\frac{59-8\sqrt{154}}{25}$，$\frac{13-6\sqrt{154}}{25}$）．
（2）∵圓心C（2，1）到直線l：3x-4y-5=0的距離d=$\frac{|6-4-5|}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{3}{5}$，圓半徑r=5，
∴|AB|=2$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{154}}{5}$．
設(shè)P（2+5cosθ，1+5sinθ）是圓上任意一點(diǎn)，
點(diǎn)P到直線l：3x-4y-5=0的距離h=$\frac{|6+15cosθ-4-20sinθ|}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{|15cosθ-20sinθ+2|}{5}$=$\frac{|25sin（θ+α）+2|}{5}$，
∴h_max=$\frac{27}{5}$，
∴△ABM面積的最大值S=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{154}}{5}×\frac{27}{5}$=$\frac{54\sqrt{154}}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式、圓的參數(shù)方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．