Question

6．已知直線x+2y-3=0與圓x²+y²+x-2cy+c=0的兩個交點為A，B，O為坐標原點，且OA⊥OB，求實數(shù)c的值．

Answer 1

分析 設A、B點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由直線垂直的性質(zhì)得x₁x₂+y₁y₂=0，由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+x-2cy+c=0}\end{array}\right.$，得5y²-（2c+14）y+c+12=0，由此利用韋達定理能求出實數(shù)c的值．

解答 解：設A、B點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由OA⊥OB，得k_OA•k_OB=-1，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，①
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+x-2cy+c=0}\end{array}\right.$，
得5y²-（2c+14）y+c+12=0，
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1}{5}（2c+14）y+c+12=0$，②
又x₁x₂=（3-2y₁）（3-2y₂）=9-6（y₁+y₂）+4y₁y₂，
代入①，得9-6（y₁+y₂）+5y₁y₂=0，③
聯(lián)立②③，解得c=3．
∴實數(shù)c的值為3．

點評 本題考查直線中參數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線垂直的性質(zhì)、韋達定理的合理運用．