Question

若存在實(shí)數(shù)x，使不等式|2x-1|-|2x+

3

2

|-a≤0（a∈Z）成立，則a的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式

分析：先將不等式變形為a≥|2x-1-|2x+

3

2

|，只需a大于或等于|2x-1-|2x+

3

2

|的最小值，從而可得整數(shù)a的值．

解答： 解：存在實(shí)數(shù)x，使不等式|2x-1|-|2x+

3

2

|-a≤0（a∈Z）成立，
等價(jià)于不等式a≥|2x-1-|2x+

3

2

|（a∈Z）有實(shí)數(shù)解，
則只需整數(shù)a大于或等于|2x-1|-|2x+

3

2

|的最小值．
令f(x)=2(|x-

1

2

|-|x+

3

4

|)，
根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，
|x-

1

2

|表示數(shù)軸上的數(shù)x到

1

2

的距離，
|x+

3

4

|表示數(shù)軸上的數(shù)x到-

3

4

的距離，
則|x-

1

2

|-|x+

3

4

|的最小值為-

3

4

-

1

2

=-

5

4

，
即f（x）的最小值為2×(-

5

4

)=-

5

2

．
所以a≥-

5

2

，又a∈Z，則a的最小值為-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于含參數(shù)的不等式有解問(wèn)題，一般套路是：
若關(guān)于x的不等式a≥f（x）有解，則a≥[f（x）]_min；
若關(guān)于x的不等式a≤f（x）有解，則a≤[f（x）]_max．
值得注意的是，原不等式中是否含有等于號(hào)，f（x）是否有最值，這都可能會(huì)影響到a能否取等于號(hào)，對(duì)具體問(wèn)題應(yīng)具體分析，不能死搬套路．