Question

在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0），再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．
（1）求直線A₁N₁與A₂N₂交點(diǎn)的軌跡M的方程；
（2）已知點(diǎn)G（1，0）和G′（-1，0），點(diǎn)P在軌跡M上運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)以P為圓心，PG為半徑作圓P，試探究是否存在一個(gè)以點(diǎn)G′（-1，0）為圓心的定圓，總與圓P內(nèi)切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（　�。┯芍本�方程的點(diǎn)斜式列出A₁N₁和A₂N₂的方程，聯(lián)解并結(jié)合mn=3化簡(jiǎn)整理得

x2

4

+

y2

3

=1，再由N₁、N₂不與原點(diǎn)重合，可得直線A₁N₁與A₂N₂交點(diǎn)的軌跡M的方程；
（2）由題意，點(diǎn)G（1，0）和G′（-1，0）為橢圓的焦點(diǎn)，則PG+PG′=4，從而PG′=4-PG，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意知直線A₁N₁的方程為：y=

m

2

（x+2）…①；
直線A₂N₂的方程為：y=-

n

2

（x-2）…②
設(shè)Q（x，y）是直線A₁N₁與A₂N₂交點(diǎn)，①、②相乘，得y²=-

mn

4

（x²-4）
由mn=3整理得：

x2

4

+

y2

3

=1
∵N₁、N₂不與原點(diǎn)重合，可得點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡M上，
∴軌跡M的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．
（2）由題意，點(diǎn)G（1，0）和G′（-1，0）為橢圓的焦點(diǎn)，則PG+PG′=4，
∴PG′=4-PG，
∴點(diǎn)G′（-1，0）為圓心，4為半徑的定圓，總與圓P內(nèi)切，
方程為（x+1）²+y²=16．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．