Question

【題目】設(shè)是實數(shù)，，

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；

（2）試用定義證明：對于任意，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）由奇函數(shù)的定義，可得，化簡整理，解方程可得的值；（2）運用單調(diào)性的定義證明，分取值、作差、變形和定符號、下結(jié)論等；（3）由于為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，由題意可得，等價于對任意恒成立，將二次函數(shù)的對稱軸與0進行比較，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可得到所求的范圍．

（1）∵，且

∴，∴.

（2）證明：設(shè)，則

∵∴

∴即，所以在上為增函數(shù)．

（3）因為為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，

由得：

∴即對任意恒成立．

令問題等價于對任意恒成立．

令，其對稱軸

當(dāng)即時，，符合題意．

當(dāng)時，即時，對任意，恒成立，等價于

解得：

綜上所述，當(dāng)時，不等式對任意恒成立