Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實數(shù)（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對點集”，給出下列四個集合：
①M={（x，y）|y=-

1

x

}    ②M={（x，y）|y=x²-1}
③M={（x，y）|y=e^x-2}   ④M={（x，y）|y=cosx}
其中是“垂直對點集”的序號是

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：任意實數(shù)（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則對于任意點P（x₁，y₁），在M中存在另一個點P′（x₂，y₂），使

OP

⊥

OP′

．再對四個集合進行判斷即可．

解答： 解：任意實數(shù)（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則對于任意點P（x₁，y₁），在M中存在另一個點P′（x₂，y₂），使

OP

⊥

OP′

．
對于①，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象特點，過坐標(biāo)原點且相互垂直的直線不可能同時與曲線y=-

1

x

有交點，如在y=-

1

x

上取點P（-1，1），連接OM，過原點與OM垂直的直線只能是第一，三象限的角平分線，與曲線y=-

1

x

無交點，故①錯誤；
對于②，根據(jù)二次函數(shù)y=x²-1的圖象，當(dāng)過原點作出一條直線與圖象相交時，同時可以作出過原點且與它垂直的直線與二次函數(shù)相交，滿足定義，故②正確；
對于③，根據(jù)函數(shù)的圖象，對于圖象上任一點P，在曲線上存在點與原點的連線，與OP垂直，故③正確；
對于④，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象，對于圖上任一點P，在曲線上存在點與原點的連線與OP垂直，故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是對新定義的理解，是中檔題．