【題目】求滿足如下條件的最小正整數(shù)：在的圓周上任取個(gè)點(diǎn)，則在個(gè)中，至少有2007個(gè)不超過.

【答案】91

【解析】

首先，當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)是的直徑，在點(diǎn) 和的附近分別取45個(gè)點(diǎn)，此時(shí)，只有個(gè)角不超過 .所以，不滿足題意.

其次，當(dāng)時(shí)，接下來證明：至少有2007個(gè)角不超過.

對圓周上的91個(gè)點(diǎn)，若 ，則聯(lián)結(jié) ，這樣就得到一個(gè)圖.設(shè)圖中有條邊.

當(dāng)， 時(shí)，，故圖中沒有三角形.

若，則有個(gè)角不超過，命題得證.

若，不妨設(shè)、之間有邊相連，因?yàn)閳D中沒有三角形，所以，對于點(diǎn) ，它至多與、中的一個(gè)有邊相連.從而， ，其中，表示從 處引出的邊數(shù).又，而對圖中每一條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)、 ，都有.

于是，上式對每一條邊求和可得.

由柯西不等式得

.

故 ，.

因此，91個(gè)頂點(diǎn)中，至少有個(gè)點(diǎn)對，它們之間沒有邊相連.從而，對應(yīng)的頂點(diǎn)所對應(yīng)的角不超過 .

綜上所述，的最小值為91.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

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【題目】已知，函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的最大值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得該函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為？若存在，求出對應(yīng)的值；若不存在，試說明理由.

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【題目】函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象（ ）

A.先向左平移個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）

B.先向左平移個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）

C.每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位

D.每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)，．

求的單調(diào)區(qū)間；

對，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

設(shè)在上有唯一零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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【題目】三角形中，邊和所在的直線方程分別為和，的中點(diǎn)為.

（1）求的坐標(biāo)；

（2）求角的內(nèi)角平分線所在直線的方程.

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