Question

3．在直角坐標系xOy中，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C上的點$（2\sqrt{2}，1）$到兩焦點的距離之和為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點P在橢圓C上，F(xiàn)₁、F₂為橢圓C的左右焦點，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出橢圓標準方程，且求得a，把點$（2\sqrt{2}，1）$代入橢圓方程求b，則答案可求；
（2）先根據(jù)橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設(shè)出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解．

解答 解：（1）由題意，設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則2a=4$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{3}$．
∵點$（2\sqrt{2}，1）$在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$上，
∴$\frac{8}{12}+\frac{1}{^{2}}=1$，解得b=$\sqrt{3}$，
∴所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）∵a=$2\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=3$，
設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則t₁+t₂=$4\sqrt{3}$，①
t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=36，②
由①²-②得t₁t₂=4，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}$t₁t₂•sin60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質(zhì)．涉及焦點三角形問題，常用橢圓定義及余弦定理解決，是中檔題．