【題目】已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列.
(1)若,且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項公式;
(2)在(1)的條件下,數(shù)列的前和為,設(shè),若對任意的,不等式恒成立,求突數(shù)的最小值:
(3)若數(shù)列中有兩項可以表示位某個整數(shù)的不同次冪,求證:數(shù)列中存在無窮多項構(gòu)成等比數(shù)列.
【答案】(1)的通項公式.(2)實數(shù)的最小值為.
(3)有等比數(shù)列,其中.
【解析】
本試題主要是考查了數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和的綜合運用。
(1)因為因為又因為是正項等差數(shù)列,故,利用等差數(shù)列的某兩項可知其通項公式的求解。
(2)因為,可知其的通項公式,利用裂項求和的思想得到結(jié)論。
(3)因為這個數(shù)列的所有項都是正數(shù),并且不相等,所以,
設(shè)其中是數(shù)列的項,是大于1的整數(shù),
分析證明。
(1)因為又因為是正項等差數(shù)列,故
所以,得或(舍去) ,
所以數(shù)列的通項公式.………………………………………………4分
(2) 因為,
,
,
令,則, 當時,恒成立,
所以在上是增函數(shù),故當時,,即當時,, 要使對任意的正整數(shù), 不等式恒成立,
則須使, 所以實數(shù)的最小值為.…………………………10分
(3)因為這個數(shù)列的所有項都是正數(shù),并且不相等,所以,
設(shè)其中是數(shù)列的項,是大于1的整數(shù),,
令,則,
故是的整數(shù)倍,對的次冪,
所以,右邊是的整數(shù)倍.
所有這種形式是數(shù)列中某一項,
因此有等比數(shù)列,其中. …………………………16分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】南北朝時代的偉大科學家祖暅在數(shù)學上有突出貢獻,他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”. 其含義是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.如圖,夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為,被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為,則“相等”是“總相等”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓心在x軸上的圓C與直線切于點,圓.
(1)求圓C的標準方程;
(2)已知,圓P與x軸相交于兩點(點M在點N的右側(cè)),過點M任作一條傾斜角不為0的直線與圓C相交于兩點.問:是否存在實數(shù)a,使得?若存在,求出實數(shù)a的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:內(nèi)有一點P(2,2),過點P作直線l交圓C于A、B兩點.
(1)當l經(jīng)過圓心C時,求直線l的方程;
(2)當直線l的傾斜角為45時,求弦AB的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面四邊形ABCD是矩形,平面DCC1D1⊥平面ABCD.AD=3,CD=DD1=5,∠D1DC=120°,M,N分別是線段AD1,BD的中點.
(1)求證:MN//平面DCC1D1;
(2)求證:MN⊥平面ADC1;
(3)求三棱錐D1﹣ADC1的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)和是雙曲線上的兩點,線段的中點為,直線不經(jīng)過坐標原點.
(1)若直線和直線的斜率都存在且分別為和,求證:;
(2)若雙曲線的焦點分別為、,點的坐標為,直線的斜率為,求由四點、、、所圍成四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中是函數(shù)的導數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù), (,).
(Ⅰ)求的解析式及極值;
(Ⅱ)若,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一個同學家開了一個奶茶店,他為了研究氣溫對熱奶茶銷售杯數(shù)的影響,從一季度中隨機選取5天,統(tǒng)計出氣溫與熱奶茶銷售杯數(shù),如表:
氣溫(oC) | 0 | 4 | 12 | 19 | 27 |
熱奶茶銷售杯數(shù) | 150 | 132 | 130 | 104 | 94 |
(Ⅰ)求熱奶茶銷售杯數(shù)關(guān)于氣溫的線性回歸方程(精確到0.1),若某天的氣溫為15oC,預測這天熱奶茶的銷售杯數(shù);
(Ⅱ)從表中的5天中任取一天,若已知所選取該天的熱奶茶銷售杯數(shù)大于120,求所選取該天熱奶茶銷售杯數(shù)大于130的概率.
參考數(shù)據(jù):,.參考公式:,
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