Question

已知橢圓方程為＋x²＝1，斜率為k(k≠0)的直線l過橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M(0，m)．

(1)求m的取值范圍；

(2)求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

解：(1)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，

由

可得(k²＋2)x²＋2kx－1＝0.

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－.可得y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2＝.

設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，

由題意有k_MN·k＝－1，可得·k＝－1，可得m＝，又k≠0，所以0<m<.

(2)設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為F，

則S_△MPQ＝·|FM|·|x₁－x₂|＝

，

所以△MPQ的面積為

設(shè)f(m)＝m(1－m)³，

則f′(m)＝(1－m)²(1－4m)．

可知f(m)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減．

所以，當(dāng)m＝時(shí)，

f(m)有最大值

即當(dāng)m＝時(shí)，△MPQ的面積有最大值.