橢圓(a＞b＞0)與直線x+y-1=0相交于兩點(diǎn)P、Q，且

（O為原點(diǎn)）.

（1）求證：等于定值；

（2）若橢圓離心率e∈［,］時(shí)，求橢圓長軸長的取值范圍.

解析：（1）由

消去y,得（a 2+b 2）x 2-2a 2x+a 2(1-b 2)=0,?

由Δ=4a 4-4(a 2+b 2)a 2(1-b 2)＞0,得a 2+b 2＞1,?

設(shè)P（x 1 ,y 1）,Q(x 2 ,y 2),則x 1+x 2=,?

x1x 2=,?

∵

 ∴x1x 2+y 1y 2=0,?

∴x 1x 2+(1-x 1)(1-x 2)=0,?

∴2x 1x 2-(x 1+x2)+1=0,?

∴，?

∴a2+b2=2a 2b 2,?

∴(為定值).?

（2）∴e=.?

∴b 2=a 2-c 2=a 2-a 2e 2.?

∵a 2+b 2=2a 2b 2,2-e 2=2a 2(1-e 2).?

∴.?

∴,∵,?

∴,?

∴長軸長取值范圍為［，］.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(19)如圖，橢圓 (a＞b＞0)與過點(diǎn)A(2，0)、B(0，1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=

(Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)Fl、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證：|AT|2=|AF1|·|AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

. 19(本小題滿分14分)

       已知橢圓 (a>b>0)與直線

       x+y－1 = 0相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB

       (O為坐標(biāo)原點(diǎn))．

(I)   求 + 的值；

(II)  若橢圓長軸長的取值范圍是［,］，

       求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黑龍江省模擬題 題型：解答題

橢圓(a＞b＞0)與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為，該橢圓的離心率為  
（Ⅰ）求橢圓的方程；  
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓交于M，N兩個(gè)不同點(diǎn)，且對(duì)l外任意一點(diǎn)Q，有成立？若存在，求出l的方程；若不存在， 說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,橢圓(a＞b＞0)與過點(diǎn)A(2,0),B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率e=,

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),求證:|AT|2=|AF1||AF2|.

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