Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．BM⊥PD于M．
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線PC與平面ABM所成的角的正切值；
（3）求點(diǎn)O到平面ABM的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由直徑性質(zhì)得BM⊥PD．由線面垂直得PA⊥AB，又AB⊥AD，由此能證明PD⊥平面ABM，從而得到平面ABM⊥平面PCD．
（2）設(shè)平面ABM與PC交于點(diǎn)N，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥平面PCD，從而AB∥MN∥CD，所以∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，由此能求出直線PC與平面ABM所成的角的正切值．
（3）由O是BD的中點(diǎn)，得O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由PD⊥平面ABM于M，知|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離．

解答： （1）證明：依題設(shè)，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）解：設(shè)平面ABM與PC交于點(diǎn)N，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥平面PCD，
則AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，則MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，且∠PNM=∠PCD．
tan∠PNM=tan∠PCD=

PD

DC

=2

2

．
（3）解：因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，
則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，
由（1）知，PD⊥平面ABM于M，
則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離．
因?yàn)樵赗t△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M為PD中點(diǎn)，DM=2

2

，
則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．