Question

1．已知O是△ABC的外心，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-4，若$\overrightarrow{AO}$=x₁ $\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，則x₁+x₂的值為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得，|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AC}$|=2，由條件$\overrightarrow{AO}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，兩邊點(diǎn)乘$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，運(yùn)用外心的性質(zhì)和向量的投影的概念，解方程可得x₁，x₂，進(jìn)而得到所求和．

解答 解：由題意可得，|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AC}$|=2，
若$\overrightarrow{AO}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=x₁$\overrightarrow{AB}$²+x₂$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，
即有$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=8x₁-4x₂，①
又則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=x₁$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+x₂$\overrightarrow{AC}$²，
即為1×2=-4x₁+4x₂，②
由①②解得x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=2，則x₁+x₂=$\frac{7}{2}$．
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用數(shù)量積的幾何意義，以及模的平方即為向量的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．