Question

11．已知點P是圓O：x²+y²=1上的任意一點，定點A（4，0），B（s，0）（s≠4）．
（1）若P是第一象限內(nèi)的點，過點P作圓O的切線與x軸、y軸交于M、N兩點．求|MN|的最小值；
（2）若存在常數(shù)t，使得|PA|=$\frac{1}{t}$|PB|恒成立，求s，t的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），則a²+b²=1，求出M，N坐標(biāo)，代入兩點之間距離公式，利用基本不等式，可得答案；
（2）由|PA|=$\frac{1}{t}$|PB|恒成立，可得t²|PA|²=|PB|²，結(jié)合多項式相等的定義，可得滿足條件的s，t的值．

解答 解：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），則a²+b²=1，
過點P作圓O的切線切線方程為：ax+by=1，
令x=0，則y=$\frac{1}$，令y=0，則x=$\frac{1}{a}$，
故M、N兩點坐標(biāo)分別為（$\frac{1}{a}$，0）和（0，$\frac{1}$），
則|MN|=$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}$=$\sqrt{（\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}）（{a}^{2}+^{2}）}$=$\sqrt{（\frac{^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{^{2}}）+2}$≥$\sqrt{2\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{^{2}}}+2}$=2，
故|MN|的最小值為2，
（2）∵|PA|=$\frac{1}{t}$|PB|，
∴t²|PA|²=|PB|²，
即t²[（a-4）²+b²]=（a-s）²+b²，
又由a²+b²=1，
可得：t²（17-8a）=s²+1-2sa，
∴$\left\{\begin{array}{l}8{t}^{2}=2s\\ 17{t}^{2}={s}^{2}+1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}S=\frac{1}{4}\\ t=\frac{1}{4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}s=4\\ t=1\end{array}\right.$（舍去）

點評 本題考查的知識點是圓的切線方程，兩點之間的距離公式，基本不等式，恒成立問題，難度中檔．