Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，點(diǎn)E在PD上，且PE=2ED．
（Ⅰ）求二面角P-AC-E的大��；
（Ⅱ）試在棱PC上確定一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明PA⊥平面ABCD，建立坐標(biāo)系，求出平面ACE的一個(gè)法向量

n

=（1，-

3

，2

3

），平面ACP的一個(gè)法向量為

m

=（

3

2

，-

3

2

，0），利用向量的夾角公式，即可求二面角P-AC-E的大小；
（Ⅱ）取棱PC的中點(diǎn)F，線段PE的中點(diǎn)M，連接BD．設(shè)BD∩AC=O．連接BF，MF，BM，OE．結(jié)合菱形的性質(zhì)及三角形中位線定理及面面平行的判定定理可得平面BMF∥平面AEC，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到BF∥平面AEC．

解答： 解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=1，
在△PAB中，由PA²+AB²=2=PB²，知PA⊥AB，
同理PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD．
建立坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（

3

2

，-

1

2

，0），C（

3

2

，

1

2

，0），P（0，0，1），D（0，1，0），E（0，

2

3

，

1

3

），
∴

AC

=（

3

2

，

1

2

，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

），
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則

3 2 x+ 1 2 y=0 2 3 y+ 1 3 z=0

，
可取

n

=（1，-

3

，2

3

），
同理平面ACP的一個(gè)法向量為

m

=（

3

2

，-

3

2

，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

2

，
∴二面角P-AC-E的大小為60°；
（Ⅱ）存在點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，使BF∥平面AEC．
理由如下：
取棱PC的中點(diǎn)F，線段PE的中點(diǎn)M，連接BD．設(shè)BD∩AC=O．
連接BF，MF，BM，OE．
∵PE：ED=2：1，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，E是MD的中點(diǎn)，
∴MF∥EC，BM∥OE．
∵M(jìn)F?平面AEC，CE?平面AEC，BM?平面AEC，OE?平面AEC，
∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC．
∵M(jìn)F∩BM=M，
∴平面BMF∥平面AEC．
又BF?平面BMF，
∴BF∥平面AEC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，用空間向量求平面間的夾角，（Ⅱ）的關(guān)鍵是證得平面BMF∥平面AEC．