Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…）．S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且
4S_n=b_nb_n+1，b₁=2（n=1，2，3，…）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=b_n•2

1

3an

+

2

3

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和P_n；
（3）證明對(duì)一切n∈N^*，有

n

k=1

ak2＜

7

6

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）解：由已知條件推導(dǎo)出b₁=2，b_n+1-b_n-1=4，（n≥2），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=2n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n=2n．由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知，對(duì)n≥2有

1

nan+1

-

1

(n-1)an

=-(

1

n-1

-

1

n

)，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）當(dāng)k≥2，有ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k+4)

＜

1

3

(

1

3k-4

-

1

3k-1

)，由此能夠證明對(duì)一切n∈N^*，有

n

k=1

ak2＜

7

6

．

解答： （1）解：由已知b₁=2，4S_n=b_nb_n+1，得b₂=4，
4S_n-1=b_n-1b_n，n≥2，4b_n=b_n（b_n+1-b_n-1），
由題意b_n≠0，即b_n+1-b_n-1=4，（n≥2），
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=2n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n=2n．
所以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2n，n∈N^*．…（4分）
（2）解：由已知，對(duì)n≥2有

1

an+1

=

n-an

(n-1)an

=

n

(n-1)an

-

1

n-1

，
兩邊同除以n，得

1

nan+1

=

1

(n-1)an

-

1

n(n-1)

，
即

1

nan+1

-

1

(n-1)an

=-(

1

n-1

-

1

n

)，
于是，

n-1

k=2

[

1

kak+1

-

1

(k-1)ak

]=-

n-1

k=2

(

1

k-1

-

1

k

)=-（1-

1

n-1

），
即

1

(n-1)an

-

1

a2

=-（1-

1

n-1

），n≥2，
∴

1

(n-1)an

=

1

a2

-（1-

1

n-1

）=

3n-2

n-1

，
∴an=

1

3n-2

，n≥2，又n=1時(shí)也成立，
∴an=

1

3n-2

，n∈N^*．
∴c_n=2n•2ⁿ，P_n=4+（n-1）•2ⁿ⁺²．…（8分）
（3）當(dāng)k≥2，有ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k+4)

＜

1

3

(

1

3k-4

-

1

3k-1

)，
∴n≥2時(shí)，有

n

k=1

ak2=1+

n

k=2

ak2＜1+

1

3

[（

1

2

-

1

5

）+（

1

5

-

1

8

）+…+（

1

3n-4

-

1

3n-1

）]
=1+

1

3

（

1

2

-

1

3n-1

）＜1+

1

6

=

7

6

．
當(dāng)n=1時(shí)，a12=1＜

7

6

．
故對(duì)一切n∈N^*，有

n

k=1

ak2＜

7

6

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．