【題目】對于任意給定的無理數(shù)、及實數(shù)，證明：圓周上至多只有兩個有理點（縱、橫坐標均為有理數(shù)的點）。

【答案】見解析

【解析】

對于點，用表示上述圓周上有理點的個數(shù).

首先，可以作一個符合條件得圓，其上至少有兩個有理點，

為此，取點，.則線段中垂線.

在直線上取點，再取.則以為圓心、為半徑的圓周上至少有、這連個有理點.

其次說明，對于任何無理點以及任意正實數(shù)，.

假設(shè)有無理點及正實數(shù)，在以為圓心、為半徑的圓周上，至少有三個有理點.

則. ①

故， ②

③

記，.

則.

（1）若，則由式②知.

由為無理數(shù)，得.故點與重合，矛盾.

類似地，若，得點與重合，矛盾.

（2）若，，由式②、③消去得

.

又為無理數(shù)，故.

則、、三點共線，這與、、三點共圓矛盾.

因此，假設(shè)不真，即這種圓上至多有兩個有理點.

于是，對于所有的無理點及所有正實數(shù)，的最大值為2.

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