【題目】對(duì)于任意給定的無理數(shù)及實(shí)數(shù),證明:圓周上至多只有兩個(gè)有理點(diǎn)(縱、橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn))。

【答案】見解析

【解析】

對(duì)于點(diǎn),用表示上述圓周上有理點(diǎn)的個(gè)數(shù).

首先,可以作一個(gè)符合條件得圓,其上至少有兩個(gè)有理點(diǎn),

為此,取點(diǎn),.則線段中垂線.

在直線上取點(diǎn),再取.則以為圓心、為半徑的圓周上至少有、這連個(gè)有理點(diǎn).

其次說明,對(duì)于任何無理點(diǎn)以及任意正實(shí)數(shù).

假設(shè)有無理點(diǎn)及正實(shí)數(shù),在以為圓心、為半徑的圓周上,至少有三個(gè)有理點(diǎn).

. ①

, ②

.

.

(1)若,則由式②知.

為無理數(shù),得.故點(diǎn)重合,矛盾.

類似地,若,得點(diǎn)重合,矛盾.

(2)若,,由式②、③消去

.

為無理數(shù),故.

、三點(diǎn)共線,這與、三點(diǎn)共圓矛盾.

因此,假設(shè)不真,即這種圓上至多有兩個(gè)有理點(diǎn).

于是,對(duì)于所有的無理點(diǎn)及所有正實(shí)數(shù),的最大值為2.

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