Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其左焦點(diǎn)為.過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)且與垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若四邊形的面積為，求直線的方程；

（3）設(shè)，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意列出有關(guān)、的方程組，解出和的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，則，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出關(guān)于的表達(dá)式，同理得出關(guān)于的表達(dá)式，由可得出關(guān)于的方程，解出正數(shù)的值，即可得出直線的方程；

（3）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出和的表達(dá)式，代入韋達(dá)定理計(jì)算出的值，由此可證明出結(jié)論成立.

（1）由題意得，解得，因此，橢圓的方程為；

（2）設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)、，

由，消去得，

則，，

，

同理，

四邊形的面積為，

整理得，解得或，或，

因?yàn)?/span>，所以或，

因此，直線的方程為，或.

（3）在直線的方程中，令，得，即點(diǎn)，

，，

，，，同理可得，

.

因此，為定值.