Question

20．已知非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{a}+7\overrightarrow$．
（1）試問(wèn)：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)能否在一條直線上？證明你的結(jié)論．
（2）若A，B，C，D四點(diǎn)中僅有三點(diǎn)共線，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$滿足的條件，并說(shuō)明三點(diǎn)共線的理由．

Answer 1

分析 利用向量的線性運(yùn)算、向量共線定理即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overline{CD}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$+2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow$=4（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=4$\overrightarrow{AB}$，
∴A，B，D三點(diǎn)共線，
∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$+2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$≠λ$\overrightarrow{AB}$，λ為常數(shù)，
∴A，B，C三點(diǎn)不共線，
∴A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)不能在一條直線上；
（2）由（1）知A，B，D三點(diǎn)共線，A，B，C三點(diǎn)不共線，
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overline{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow$=3$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow$≠λ$\overrightarrow{BC}$，
∴B，C，D三點(diǎn)不共線，
故$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$為非零向量．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的線性運(yùn)算、向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題．