Question

設(shè)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，又f（-2）=0，則（x-3）•f（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，又f（-2）=0，求出f（0）=0，f（2）=0，對(duì)x＞3，x＜3討論，同時(shí)必須結(jié)合函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，得到f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，先求交集，再求并集即可．

解答： 解：∵f（x）是奇函數(shù)，又f（-2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，
∵（x-3）•f（x）＜0，
∴（1）當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）＜0，
由于f（2）=0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
∴x＞3時(shí)，f（x）＜0成立；
（2）當(dāng)x＜3時(shí)，有f（x）＞0，
由于f（x）是R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
又f（2）=0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
①當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f（x）＜0，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，有（x-3）•f（x）＜0；
②當(dāng)x＜0時(shí)，由奇函數(shù)的性質(zhì)得，f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，
又f（-2）=0，當(dāng)x＜-2時(shí)，f（x）＞0；當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f（x）＜0．
∴當(dāng)x＜-2時(shí)，有（x-3）•f（x）＜0．
綜上可得，（x-3）•f（x）＜0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）∪（3，+∞）．
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查奇函數(shù)的定義以及圖象特征，考查分類(lèi)討論的思想方法，屬于中檔題．