Question

2．求下列函數(shù)的定義域和值域．
（1）y=2^x+1
（2）y=$\sqrt{1-{2}^{x}}$
（3）y=2${\;}^{\sqrt{x}}$
（4）y=2${\;}^{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）顯然可看出定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，+∞）；
（2）解1-2^x≥0即可得出該函數(shù)的定義域，由2^x＞0便可得出0≤1-2^x＜1，從而可得出y的范圍，即該函數(shù)的值域；
（3）使該函數(shù)有意義，則x≥0，這便可得出定義域，而由$\sqrt{x}≥0$，便可得到${2}^{\sqrt{x}}≥1$，這便得出值域；
（4）定義域顯然為R，根據(jù)x²的范圍即可得出${2}^{{x}^{2}}$的范圍，即得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）定義域?yàn)镽；
2^x+1＞0；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）；
（2）解1-2^x≥0得，x≤0；
∴該函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，0]；
2^x＞0；
∴-2^x＜0；
∴0≤1-2^x＜1；
∴0≤y＜1；
∴該函數(shù)值域?yàn)閇0，1）；
（3）定義域?yàn)閇0，+∞）；
$\sqrt{x}≥0$；
∴${2}^{\sqrt{x}}≥1$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）；
（4）定義域?yàn)镽；
x²≥0；
∴${2}^{{x}^{2}}≥1$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域、值域的概念及求法，指數(shù)函數(shù)的定義域、值域，及單調(diào)性，根據(jù)不等式的性質(zhì)求值域，以及單調(diào)性的定義的運(yùn)用．