Question

如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E．
（Ⅰ）求證AB•PC=PA•AC
（Ⅱ）求AD•AE的值．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出△PAB∽△PCA，由此能夠證明AB•PC=PA•AC．
（2）由切割線定理求出PC=40，BC=30，由已知條件條件推導(dǎo)出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．

解答： （1）證明：∵PA為圓O的切線，
∴∠PAB=∠ACP，又∠P為公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PA

PC

，
∴AB•PC=PA•AC．…（4分）
（2）解：∵PA為圓O的切線，BC是過點O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=40，BC=30，
又∵∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=900，
又由（1）知

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∴AC=12

5

，AB=6

5

，
連接EC，則∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，∴

AB

AE

=

AD

AC

，
∴AD•AE=AB•AC=6

5

×12

5

=360．（10分）

點評：本題考查三角形相似的證明和應(yīng)用，考查線段乘積的求法，是中檔題，解題時要注意切割線定理的合理運用．