Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線相交于一點(diǎn)M（1，m），點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則雙曲線的離心率等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)條件，利用拋物線的定義，求出拋物線方程，由此能求出m，再由雙曲線的漸近線方程能求出

b

a

，從而能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：由題設(shè)知拋物線y²=2px（p＞0）過(guò)點(diǎn)M（1，m），
且點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為3，
∴M（1，m）到拋物線的準(zhǔn)線方程x=-

p

2

距離為3，
∴1-（-

p

2

）=3，解得p=4，
∴拋物線方程為y²=8x，
∴m=±2

2

，
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線y=

b

a

x過(guò)點(diǎn)M（1，2

2

），
∴

b

a

=2

2

，
∴e=

c

a

=

a2+b2 a2

=

1+( b a )2

=

1+(2 2 )2

=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，涉及到拋物線、雙曲線、漸近線等知識(shí)點(diǎn)．