Question

如圖，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3

2

，CF=6，∠CFE=45°．
（Ⅰ）求證：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直線AF與平面CDEF所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用直線與平面、平面與平面的位置關系先推導出平面BCF∥平面ADF，由此能證明BF∥平面ADE．
（Ⅱ）由已知條件推導出面ADE⊥面CDEF，所以∠ADE就是二面角A-CD-F的平面角，為60°，作AO⊥DE于O，則AO⊥平面CDEF，連接OF，則∠AFO就是直線AF與平面CDEF所成角，由此能求出直線AF與平面CDEF所成角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）因為ABCD是矩形，所以BC∥AD，
又因為BC不包含于平面ADE，
所以BC∥平面ADE，
因為DE∥CF，CF不包含于平面ADE，
所以CF∥平面ADE，
又因為BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADF，
而BF?平面BCF，所以BF∥平面ADE．…（5分）
（Ⅱ）因為

CD⊥DE CD⊥AD AD∩DE=D

⇒CD⊥面ADE，
又因為CD?面CDEF，
所以面ADE⊥面CDEF，…（10分）
因為CD⊥AD，CD⊥DE，
所以∠ADE就是二面角A-CD-F的平面角，為60°，…（11分）
因為平面CDEF⊥平面ADE，
作AO⊥DE于O，則AO⊥平面CDEF，連接OF，
所以∠AFO就是直線AF與平面CDEF所成角θ…（12分）
在Rt△AOD中，∵AD=2，∠ADE=60°，∴AO=

3

，
在直角梯形CDEF，
∵EF=3

2

，CF=6，∠CFE=45°，
∴2CD²=18，∴CD=3，
∴OF=

32+(6-1)2

=

34

，
所以tanθ=

AO

OF

=

102

34

，
所以直線AF與平面CDEF所成角的正切值為

102

34

．…（15分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成的角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．