Question

已知偶函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≥

π

2

，x∈R）的最大值是3，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為

π

2

（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)y=f（x）+

3

sin2x的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）由已知求得A和T，進(jìn)一步由周期公式求得ω，再結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)求得φ，化簡(jiǎn)后得f（x）的解析式；
（2）把f（x）的表達(dá)式代入y=f（x）+

3

sin2x，用兩角和的正弦化積后可得函數(shù)y=f（x）+

3

sin2x的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≥

π

2

，x∈R）的最大值是3，
∴A=3，
又其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，即

T

2

=

π

2

，
∴T=π，則

2π

ω

=π，ω=2．
∴f（x）=3sin（2x+φ），
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
又|φ|≤

π

2

，
∴φ=

π

2

，
則f（x）=3sin（2x+

π

2

）=3cos2x；
（2）y=f（x）+

3

sin2x
=3cos2x+

3

sin2x
=2

3

(

3

2

cos2x+

1

2

sin2x)
=2

3

sin(2x+

π

3

)．
∴ymax=2

3

，
此時(shí)有2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，
即x=kπ+

π

12

，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，訓(xùn)練了y=asinθ+bcosθ的化積問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握y=Asin（ωx+φ）取得最大值時(shí)的ωx+φ的取值，是中檔題．