Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=33，a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），則$\frac{{a}_{n}}{n}$取最小值時(shí)n=8．

Answer 1

分析 通過(guò)a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），利用累加法可知a_n=a₁+$\frac{n（n-1）}{2}$，進(jìn)而可知$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n$+$\frac{33}{n}$-$\frac{1}{2}$，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），
∴a_n-a_n-1=n-1，
a_n-1-a_n-2=n-2，
…
a₂-a₁=1，
累加得：a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$，
又∵a₁=33，
∴a_n=a₁+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²$-\frac{1}{2}$n+33，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n$+$\frac{33}{n}$-$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2}n$+$\frac{33}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}n•\frac{33}{n}}$=$\sqrt{66}$（＞8），當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2}n$=$\frac{33}{n}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$取最小值時(shí)n=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，涉及基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．