Question

設S_n表示數列{a_n}的前n項和．

(1)若{a_n}是等差數列，推導S_n的計算公式；

(2)若a₁＝1，q≠0，且對所有正整數n，有S_n＝.判斷{a_n}是否為等比數列，并證明你的結論．

Answer 1

 (1)方法一：設{a_n}的公差為d，則

S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋(a₁＋d)＋…＋[a₁＋(n－1)d]，

又S_n＝a_n＋a_n－1＋…＋a₁

＝[a₁＋(n－1)d]＋[a₁＋(n－2)d]＋…＋a₁，

∴2S_n＝[2a₁＋(n－1)d]＋[2a₁＋(n－1)d]＋…＋[2a₁＋(n－1)d]＝2na₁＋n(n－1)d，

∴S_n＝na₁＋d.

方法二：設{a_n}的公差為d，則

S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋(a₁＋d)＋…＋[a₁＋(n－1)d]，

又S_n＝a_n＋(a_n－d)＋…＋[a_n－(n－1)d]，兩式相加得2S_n＝n(a₁＋a_n)，

∴S_n＝.

(2){a_n}是等比數列，證明如下：∵S_n＝，

∴a_n＋1＝S_n＋1－S_n＝－＝＝qⁿ.

∵a₁＝1，q≠0，∴當n≥1時，有＝q，

因此，{a_n}是首項為1且公比為q的等比數列．