Question

若一元二次方程mx²-（m+1）x+3=0的兩個(gè)實(shí)根都小于2，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解法一：根據(jù)一元二次方程mx²-（m+1）x+3=0的兩個(gè)實(shí)根都小于2，可得 ①

△=(-m-1)2-12m≥0 m+1 2m ＜2 m＞0 4m-(m+1)2+3＞0

，或②

△=(-m-1)2-12m≥0 m+1 2m ＜2 m＜0 4m-(m+1)2+3＜0

，分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
解法二：設(shè)f（x）=mx²-（m+1）x+3，則函數(shù)f（x）有2個(gè)小于2的零點(diǎn)，且函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=

m+1

2m

．
故有 ①

m＞0 m+1 2m ＜2 f(  m+1 2m )≤0 f(2)＞0

，或②

m＜0 m+1 2m ＜2 f(  m+1 2m )≥0 f(2)＜0

．分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：∵一元二次方程mx²-（m+1）x+3=0的兩個(gè)實(shí)根都小于2，
∴①

△=(-m-1)2-12m≥0 m+1 2m ＜2 m＞0 4m-(m+1)2+3＞0

，或②

△=(-m-1)2-12m≥0 m+1 2m ＜2 m＜0 4m-(m+1)2+3＜0

．
解①求得 m≥5+2

6

，解②求得m＜-

1

2

，
故m的范圍是[5+2

6

，+∞）∪（-∞，-

1

2

）．
解法二：設(shè)f（x）=mx²-（m+1）x+3，則函數(shù)f（x）有2個(gè)小于2的零點(diǎn)，
且函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=

m+1

2m

．
故有 ①

m＞0 m+1 2m ＜2 f(  m+1 2m )≤0 f(2)＞0

，或②

m＜0 m+1 2m ＜2 f(  m+1 2m )≥0 f(2)＜0

．
解①求得 m≥5+2

6

，解②求得 m＜-

1

2

，
綜上可得，m的范圍是[5+2

6

，+∞）∪（-∞，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．