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在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且sin2C+
3
cos（A+B）=0．
（1）若a=4，c=
13
，求b的長；
（2）若C＞A，A=60°，AB=5，求
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
的值．
考點：平面向量數量積的運算,余弦定理
專題：平面向量及應用
分析：由已知數據可得cosC=0或sinC=
3
2
，（1）由條件可得sinC=
3
2
，C=60°，由余弦定理可得；（2）由題意驗證可得C=90°，由數量積的定義計算可得．
解答： 解：∵A+B+C=π，∴A+B=π-C，
∴sin2C+
3
cos(A+B)=2sinC•cosC+
3
cos(π-C)，
∴2sinCcosC-
3
cosC=cosC(2sinC-
3
)=0
∴cosC=0或sinC=
3
2
，
（1）∵a=4，c=
13
，∴c＜a，
∴C＜A，∴C為銳角，
∴sinC=
3
2
，此時C=60°
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC
代入數據可得13=16+b2-2•4•b•
1
2
，
化簡可得b2-4b+3=0，
解得b=1或b=3，經檢驗均滿足題意；
（2）∵C＞A，A=60°，∴C＞600，
若sinC=
3
2
，C=1200，A+C＞1800，不合題意
∴cosC=0，C=90°，
∴
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
=
AB
•
BC
+0+
CA
•
AB

=
AB
•(
BC
+
CA
)=
AB
•
BA
=-
AB
2=-25
點評：本題考查平面向量的數量積，涉及三角函數和解三角形，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

直線y=5，與y=-1在區(qū)間[0，
2π
ω
]上截曲線y=Asinωx+B（A＞0，B＞0，ω＞0）所得弦長相等且不為零，則下列描述正確的是（　�。�
A、A≤
2
3
，B=
5
2
B、A≤3，B=2
C、A＞
3
2
，B=
5
2
D、A＞3，B=2

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，多面體ABCDEF中，BA、BC、BE兩兩垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（Ⅰ）若點G在線段AB上，且BG=3GA，求證：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求證：平面ABD⊥平面DEF．
（Ⅲ）求直線DF與平面ABEF所成的角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C的一個焦點為F（
1
2
，0），準線方程為x=-
1
2
．
（1）寫出拋物線C的方程；
（2）（此小題僅理科做）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求△AOB重心G的軌跡方程；
（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓（x-3）2+y2=2的切線，切點分別是M，N．當P點在何處時，|MN|的值最�。坎⑶蟪鰘MN|的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的各項均為正數，它的前n項的和為Sn，點（an，Sn）在函數y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上；數列{bn}滿足b1=a1，bn+1（an+1-an）=bn．其中n∈N*．
（Ⅰ）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=
an
bn
，求證：數列{cn}的前n項的和Tn＞
5
9
（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，AB，CD均為圓O的直徑，CE⊥圓O所在的平面，BF∥CE，求證：
（1）BC⊥平面ACE；
（2）面BDF∥平面ACE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n2+2n．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）數列{bn}中，b1=1，bn=2bn-1+1（n≥2），求{bn}的通項公式；
（Ⅲ）若cn=an（bn+1），求數列{cn}前幾項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1離心率是
2
，過點（
3
，1），且右支上的弦AB過右焦點F．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求弦AB的中點M的軌跡E的方程；
（3）是否存在以AB為直徑的圓過原點O？，若存在，求出直線AB的斜率k的值．若不存在，則說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=60°，E、F分別是PB，CD的中點．
（Ⅰ）證明：PB⊥面AEF
（Ⅱ）求二面角A-PE-F的大小．

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