Question

4．設△ABC的面積S=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，角A，B，C所對的邊為a，b，c且c=$\sqrt{2}$a．
（1）求角C的大�。�
（2）若△ABC內一點P滿足AP=AC，BP=CP，求∠PAC的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理，即可即可求出A的大小，再根據(jù)正弦定理求出C的大小，
（2）首先確定P的位置，由（1）△ABC為等腰直角三角形，以A點為坐標原點，以斜邊BC為x軸，建立如何所示的坐標系，作BC的垂直平分線，DE，交圓于點P，分別表示各點的坐標，求出直線DE的方程，聯(lián)立圓的方程求出點P的坐標，再分別表示出$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}$，利用向量的數(shù)量積即可求出cos∠PAC，問題得以解決．

解答 解：（1）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA，b²+c²-a²=2bccosA，
∴S=$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²）變形得：$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{4}$×2bccosA，
整理得：tanA=1，
又0＜A＜π，
則A=$\frac{π}{4}$，
∵c=$\sqrt{2}$a，
∴sinC=$\sqrt{2}$sinA=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
又0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{2}$，
（2）由（1）△ABC為等腰直角三角形，
以A點為坐標原點，以斜邊BC為x軸，建立如何所示的坐標系，
作BC的垂直平分線，DE，交圓于點P，
∴PC=PB，AC=AP，
∴點P就是所求的點，
設半徑為$\sqrt{2}$，則AB=2，
則圓的方程為x²+y²=2，①
∴A（0，0），C（1，1），B（2，0），
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∵k_ED=K_AC=tan$\frac{π}{4}$=1，
∴直線ED的方程為y-$\frac{1}{2}$=x-$\frac{3}{2}$，即x-y-1=0，②
由①②構成方程組，則為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$（舍去），
∴點P的坐標為（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，1），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$），|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$+$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠PAC=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PAC=$\frac{π}{6}$

點評 本題考查學生靈活運用三角形的面積公式及余弦定理、正弦定理化簡求值，以及用解析幾何的和向量的問題解決平面幾何的問題，屬于中檔題．