Question

已知函數(shù)f（log₂x）=x-

1

x

（1）求f（x）的表達式；
（2）若不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若f（x）中，x=sinα+cosα，α∈（-

π

2

，0），且f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用換元法即可求f（x）的表達式；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)將不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0進行轉(zhuǎn)化即可求實數(shù)m的取值范圍；
（3）先求出函數(shù)f（x）的定義域，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）設t=log₂x，則x=2^t，
即f（t）=2^t-2^-t，
即f（x）=2^x-2^-x．
（2）∵f（x）=2^x-2^-x．
∴不等式等價為2^t（2^2t-2^-2t）+m（2^t-2^-t）≥0，
即2^t（2^t-2^-t）（2^t+2^-t）+m（2^t-2^-t）≥0，
∵t∈[1，2]，
∴2^t-2^-t＞0，
∴不等式等價為2^t（2^t+2^-t）+m≥0，
∴m≥-2^t（2^t+2^-t）=-（2^2t+1），
則m≥5．
（3）x=sinα+cosα

2

sin(α+

π

4

)，α∈（-

π

2

，0），
∴x∈（-1.1），
又f（x）=2^x-2^-x是奇函數(shù)和增函數(shù)，
則不等式 f（1-m）+f（1-m²）＜0等價為f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
即

1-m＜m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1

，
解得1＜m＜

2

．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的運算，綜合考查學生的計算能力，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度較大．