Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與直線l：x=m（m∈R）．四點(diǎn)（3，1），（3，-1），（-2

2

，0），（

3

，

3

）中有三個(gè)點(diǎn)在橢圓C上，剩余一個(gè)點(diǎn)在直線l上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，過(guò)P作直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，使得PM=PN，再過(guò)P作直線l′⊥MN．證明：直線l′恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）判斷點(diǎn)（3，1），（3，-1），點(diǎn)（

3

，

3

）在橢圓C上，點(diǎn)（-2

2

，0）在直線l上，代入橢圓方程，即可求出橢圓C的方程；
（2）分類討論，利用點(diǎn)差法求出直線l′的方程，可得直線l′恒過(guò)定點(diǎn)．

解答： （1）解：由題意有3個(gè)點(diǎn)在橢圓C上，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，則點(diǎn)（3，1），（3，-1）一定在橢圓C上，
即

9

a2

+

1

b2

=1  ①，…（2分）
若點(diǎn)（-2

2

，0）在橢圓C上，則點(diǎn)（-2

2

，0）必為C的左頂點(diǎn)，
而3＞2

2

，則點(diǎn)（-2

2

，0）一定不在橢圓C上，
故點(diǎn)（

3

，

3

）在橢圓C上，點(diǎn)（-2

2

，0）在直線l上，…（4分）
所以

3

a2

+

3

b2

=1   ②，
聯(lián)立①②可解得a²=12，b²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1；             …（6分）
（2）證明：由（1）可得直線l的方程為x=-2

2

，設(shè)P（-2

2

，y₀），y₀∈（-

2 3

3

，

2 3

3

），
當(dāng)y₀≠0時(shí)，設(shè) M（x₁，y₁）、N （x₂，y₂），顯然x₁≠x₂，
聯(lián)立

x12 12 + y12 4 =1 x22 12 + y22 4 =1

，則

x12-x22

12

+

y12-y22

4

=0，即

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

•

x1+x2

y1+y2

，
又PM=PN，即P為線段MN的中點(diǎn)，
故直線MN的斜率為-

1

3

•

-2 2

y0

=

2 2

3y0

，…（10分）
又l′⊥MN，所以直線l′的方程為y-y₀=-

3y0

2 2

（x+2

2

），…（13分）
即y═-

3y0

2 2

（x+

4 2

3

），
顯然l′恒過(guò)定點(diǎn)（-

4 2

3

，0），…（15分）
當(dāng)y₀=0時(shí)，直線MN即x=-2

2

，此時(shí)l′為x軸亦過(guò)點(diǎn)（-

4 2

3

，0）；
綜上所述，l′恒過(guò)定點(diǎn)（-

4 2

3

，0）．          …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是解題的關(guān)鍵．