Question

20．已知曲線C上的動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為$\frac{1}{2}$．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l的方程為y=kx-2，其中k＜-2，且直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由條件運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，即可得到所求軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線方程和圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由題意可得$\frac{|PO|}{|PA|}$=$\frac{1}{2}$，
即為2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
化簡可得x²+y²+2x-3=0，
曲線C的方程為圓（x+1）²+y²=4；
（2）將直線y=kx-2代入圓的方程，
可得（1+k²）x²+（2-4k）x+1=0，
判別式為（2-4k）²-4（1+k²）＞0，由k＜-2，顯然成立；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{4k-2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
即有y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）
=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=$\frac{4+4k-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{5+4k-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$
=-3+$\frac{4（2+k）}{1+{k}^{2}}$，可令2+k=t（t＜0），
可得$\frac{4（2+k）}{1+{k}^{2}}$=$\frac{4t}{{t}^{2}-4t+5}$=$\frac{4}{t+\frac{5}{t}-4}$，
由t+$\frac{5}{t}$≤-2$\sqrt{t•\frac{5}{t}}$=-2$\sqrt{5}$．
當(dāng)且僅當(dāng)t=-$\sqrt{5}$，即k=-2-$\sqrt{5}$，等號成立．
即有$\frac{4}{t+\frac{5}{t}-4}$≥$\frac{4}{-2\sqrt{5}-4}$=4-2$\sqrt{5}$，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≥1-2$\sqrt{5}$．
故當(dāng)k=-2-$\sqrt{5}$時(shí)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最小值1-2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線方程的求法，注意運(yùn)用代入法，考查直線和圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線和圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．