Question

12．給出下列五個命題：
①命題?x∈R，cosx＞0的否定是?x∈R，cosx≤0；
②函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}-4}）$的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）；
③已知命題p：?x∈R，sin（π-x）=sinx；命題q：α，β均是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ，則p∧?q是真命題；
④定義在R上的函數(shù)f（x）對于任意x的都有$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$，則f（x）為周期函數(shù)；
⑤命題“若a=-1，則函數(shù)f（x）=ax²+2x-1只有一個零點”的逆命題是真命題．
則其正確的命題為①③④．（填上所有正確的序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可判斷是否正確；
②根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
③先判斷命題p、q的真假性，再判斷復(fù)合命題的真假性；
④根據(jù)$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$以及周期性的定義，求出f（x）是以4為周期的函數(shù)；
⑤寫出該命題的逆命題再判斷它的真假性．

解答 解：對于①，命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，∴①正確；
對于②，函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}-4}）$的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2），∴②錯誤；
對于③，命題p中，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，得
?x∈R，sin（π-x）=sinx，∴p是真命題；
命題q中，當(dāng)α，β均是第一象限的角時，若α=$\frac{9π}{4}$，β=$\frac{π}{4}$，
則sinα=sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴q是假命題，￢q是真命題，
∴p∧?q是真命題，③正確；
對于④，函數(shù)f（x）對于任意x的都有$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$，
∴f（x）=-$\frac{4}{f（x+2）}$，即f（x+2）=-$\frac{4}{f（x）}$，
∴f[（x+2）+2]=-$\frac{4}{f（x+2）}$=f（x），
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)，④正確；
對于⑤，命題“若a=-1，則函數(shù)f（x）=ax²+2x-1只有一個零點”的逆命題是
“若函數(shù)f（x）=ax²+2x-1只有一個零點，則a=-1”，它是假命題，
如a=0時，函數(shù)f（x）=2x-1，也只有一個零點，∴⑤錯誤．
綜上，正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了命題真假的判斷問題，重點考查了命題的否定與復(fù)合命題的真假性判斷，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的周期性等問題，是綜合性題目．