Question

【題目】定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí),

則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

函數(shù)F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為：在同一坐標(biāo)系內(nèi)y＝f（x），y＝a的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；作出兩函數(shù)圖象，考查交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合方程思想，及零點(diǎn)的對(duì)稱性，根據(jù)奇函數(shù)f（x）在x≥0時(shí)的解析式，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象及其對(duì)稱性，求出答案．

∵當(dāng)x≥0時(shí)，

f（x）＝

即x∈[0，1）時(shí)，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；

x∈[1，3]時(shí)，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；

x∈（3，+∞）時(shí)，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；

畫出x≥0時(shí)f（x）的圖象，

再利用奇函數(shù)的對(duì)稱性，畫出x＜0時(shí)f（x）的圖象，如圖所示；

則直線y＝a，與y＝f（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，則方程f（x）﹣a＝0共有五個(gè)實(shí)根，

最左邊兩根之和為﹣6，最右邊兩根之和為6，

∵x∈（﹣1，0）時(shí)，﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）＝（﹣x+1），

又f（﹣x）＝﹣f（x），

∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），

∴中間的一個(gè)根滿足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，

解得x＝1﹣2a，

∴所有根的和為1﹣2a．

故答案為：1﹣2a．