Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，點(diǎn)M為PC中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且

BE

EC

=λ．
（1）求證：平面ADE⊥平面PBC；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得二面角P-DE-B的余弦值為

2

3

，若存在，試求實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN，由已知得四邊形ADMN為平行四邊形，由AP⊥AD，AB⊥AD，得AD⊥平面PAB，從而AN⊥MN，由AP=AB，得AN⊥PB，由此能證明平面ADM⊥平面PBC．
（2）以A為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸，AD方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出λ=3或λ=

1

3

．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN，
∵M(jìn)是PC中點(diǎn)，∴MN∥BC，MN=

1

2

BC=2，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四邊形ADMN為平行四邊形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，
∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（6分）
（2）存在符合條件的λ．
以A為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸，AD方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)E（2，t，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）
從而

PD

=(0，2，-2)，

DE

=(2，t-2，0)，
則平面PDE的法向量為

n1

=(2-t，2，2)，
又平面DEB即為xAy平面，其法向量

n2

=(0，0，1)，
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

(2-t)2+4+4

=

2

3

，
解得t=3或t=1，進(jìn)而λ=3或λ=

1

3

．（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．本小題對考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求．