Question

20．已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M（a，-4）（a＞0）到焦點F的距離為5，．
（1）求拋物線的方程與實數(shù)a的值；
（2）直線l過焦點F，且點M到直線l的距離為4，求直線l的方程；
（3）O是拋物線的頂點，在拋物線弧OM上求一點P，使△FPM的面積最大．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0），求出準線方程，由拋物線的定義，可得p=2，進而得到拋物線方程，再由代入法，可得a=4；
（2）設(shè)直線l：x=0或y=kx-1，運用點到直線的距離公式，計算即可得到k：
（3）在拋物線弧OM上求一點P，使△FPM的面積最大，只要P到直線FM的距離最大．求得直線FM的方程，設(shè)出點P，由點到直線的距離公式，配方結(jié)合二次函數(shù)的值域，即可求得最大值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0），準線方程為y=$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得，|MF|=$\frac{p}{2}$-（-4）=5，解得p=2，
即有拋物線方程為x²=-4y，則a²=16，解得a=4．
故a=4，拋物線方程為x²=-4y；
（2）焦點F（0，-1），設(shè)直線l：x=0或y=kx-1，
當(dāng)x=0時，顯然有點M到直線l的距離為4；
由M（4，-4），可得$\frac{|4k-1+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4，解得k=$\frac{7}{24}$，
即有直線l：x=0或y=$\frac{7}{24}$x-1；
（3）由于F（0，-1），M（4，-4）為定點，
在拋物線弧OM上求一點P，使△FPM的面積最大，
只要P到直線FM的距離最大．
設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²），（0≤m≤4），F(xiàn)M：y=-$\frac{3}{4}$x-1，
P到直線FM的距離為d=$\frac{|\frac{3}{4}m+1-\frac{1}{4}{m}^{2}|}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}$
=$\frac{|4+3m-{m}^{2}|}{5}$=$\frac{|\frac{25}{4}-（m-\frac{3}{2}）^{2}|}{5}$，
由0≤m≤4，則m=$\frac{3}{2}$，d取得最大，
則有在拋物線弧OM上取一點P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{16}$），使△FPM的面積最大．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法的運用，同時考查點到直線的距離公式的運用，注意直線的斜率不存在的情況和二次函數(shù)的值域求法，屬于中檔題和易錯題．