Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下命題：

①當(dāng)為正三角形時(shí)，的值為；

②存在點(diǎn)，使得；

③若，則等于；

④的最小值為，則等于或.

其中正確的是（ ）

A.①③④B.②③C.①③D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

對(duì)于①可知，當(dāng)為正三角形時(shí)與準(zhǔn)線垂直，畫(huà)出圖形結(jié)合幾何關(guān)系即可求得的值；對(duì)于②根據(jù)向量關(guān)系可知，結(jié)合點(diǎn)的位置即可判斷；對(duì)于③，作出幾何圖形，根據(jù)線段比例關(guān)系即可求得的值；對(duì)于④，作關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交準(zhǔn)線于，可知即為的最小值，根據(jù)線段幾何關(guān)系及最小值即可求得的值.

對(duì)于①，當(dāng)為正三角形時(shí)，如下圖所示，

拋物線的準(zhǔn)線交軸于，

,由拋物線定義可知，則與準(zhǔn)線垂直，

所以，

則，所以,

而，即，所以①正確；

對(duì)于②，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，即，

所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，

由拋物線圖像與性質(zhì)可知，為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，線段在軸右側(cè)，

點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上，在軸左側(cè)，因而不可能為的中點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若，則，作垂直于準(zhǔn)線并交于，準(zhǔn)線交軸于，如下圖所示：

由拋物線定義可知，

根據(jù)相似三角形中對(duì)應(yīng)線段成比例可知，即，

解得，所以③正確；

對(duì)于④，作關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交準(zhǔn)線于，作垂直于準(zhǔn)線并交于，作垂直于軸并交于，如下圖所示：

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)即為的最小值，

由拋物線定義可知，所以的橫坐標(biāo)為，

代入拋物線可知，

的最小值為，，

則，即，

化簡(jiǎn)可得，即，

解得或，所以④正確；

綜上所述，正確的為①③④.

故選：A.